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1.2 Grundlagen

1.2.1 Druck – Definition

Der Druck ist definiert als der Betrag einer senkrecht und gleichmäßig auf eine Flächeneinheit wirkenden Kraft.
  • p=\frac{F}{A}

    Formel 1-3: Druckdefinition

  • p\quad\text{Druck}\ [\text{Pa}]
  • F\quad\text{Kraft}\ [\text{N}];\ 1\ \text{N}=1\ \text{kg}\ \text{m}\ \text{s}^{-2}
  • A\quad\text{Fläche}\ [\text{m}^2]
In einem geschlossenen Behälter führen die Gasteilchen thermische Bewegungen aus. Bei der Wechselwirkung mit der Wand kommt es zu einer Vielzahl von Stößen auf atomarer und molekularer Ebene. Jeder einzelne Stoß übt durch Impulsübertragung eine Kraft auf die Wand des Behälters aus. Die Vielzahl der Stöße führt dazu, dass bei einem eingeschlossenen Gas ohne äußere Einflüsse an jeder Stelle immer der gleiche Druck unabhängig von Ort und Richtung der Messung herrscht.
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    Abbildung 1.2: Definition des Totaldrucks

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In der Praxis hat man es nur in Ausnahmefällen mit einem einheitlichen Gas zu tun. Wesentlich häufiger sind Gemische aus verschiedenen Gasarten. Jede einzelne Gaskomponente übt einen spezifischen Druck aus, den man unabhängig vom Druck der anderen Komponenten messen könnte. Dieser Komponentendruck wird als Partialdruck bezeichnet. Bei idealen Gasen addieren sich die Partialdrücke der einzelnen Komponenten zum Totaldruck, ohne sich gegenseitig zu stören. Die Summe aller Partialdrücke ist gleich dem Totaldruck.
  • filters_focal___grayscale_false__format_webp__3

    Abbildung 1.3: Definition des Partialdrucks

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Ein Beispiel für ein Gasgemisch ist unsere Umgebungsluft. Ihre Partialdruckzusammensetzung ist in Tabelle 1.1 [3] gezeigt.
  • Gasart
    Chem. Formel
    Volumen-%
    Partialdruck [hPa]
    Stickstoff
    N2
    78.09
    780.9
    Sauerstoff
    O2
    20.95
    209.5
    Wasserdampf
    H2O
    < 2.3
    < 23.3
    Argon
    Ar
    9.3·10 -1
    9.3
    Kohlendioxid
    CO2
    3.0·10-2
    3.0·10-1
    Neon
    Ne
    1.8·10 -3
    1.8·10-2
    Wasserstoff
    H2
    < 1·10-3
    < 1·10-2
    Helium
    He
    5.0·10 -4
    5.0·10-3
    Methan
    CH4
    2.0·10-4
    2.0·10-3
    Krypton
    Kr
    1.1·10 -4
    1.1·10-3
    Kohlenmonoxid
    CO
    < 1.6·10-5
    < 1.6·10-4
    Xenon
    Xe
    9.0·10 -6
    9.0 . 10-5
    Distickstoffoxid
    N2O
    5.0·10 -6
    5.0·10-5
    Ammoniak
    NH3
    2.6·10-6
    2.6·10-5
    Ozone
    O3
    2.0·10-6
    2.0·10-5
    Wasserstoffperoxid
    H2O 2
    4.0·10-8
    4.0·10-7
    Iod
    I2
    3.5·10-9
    3.5·10-8
    Radon
    Rn
    7.0·10 -18
    7.0·10-17

    Tabelle 1.1: Zusammensetzung der atmosphärischen Luft. Die angegebenen Partialdrücke sind auf 1.000 hPa bezogen.
    Hinweise: Der angegebene Wert für Wasserdampf ist der Sättigungszustand bei 293 K (20 °C). Die Werte für Kohlendioxid und Kohlenmonoxid schwanken in Abhängigkeit von Ort und Zeit. Die Angabe für Kohlenmonoxid ist der Spitzenwert einer Großstadt. Andere Quellen sprechen von einer natürlichen Wasserstoffkonzentration von 5·10-5 % und einem Partialdruck von 5 · 10-4 hPa.

Im Weltraum können je nach Nähe zu Galaxien Drücke unterhalb von 10-18 hPa herrschen. Auf der Erde wurde über technische erzeugte Drücke von weniger als 10-16 hPa berichtet. Der Bereich von Atmosphärendruck bis 10-16 hPa überstreicht 19 Zehnerpotenzen. Spezifisch auf den jeweiligen Druckbereich angepasste Arten der Vakuumerzeugung und -messung führen zu der in Tabelle 1.2 gezeigten Unterteilung der einzelnen Druckbereiche.
  • Druckbereich
    Druck in hPa
    Druck in hPa
    Teilchen pro cm3
    Mittlere freie Weglänge in m
    Atmosphärendruck
    1,013.25
    101,325
    2.7·1019
    6.8·10-8
    Grobvakuum (GV)
    300…1
    30,000…100
    1019…1016
    10-8…10-4
    Feinvakuum (FV)
    1…10-3
    100…10-1
    1016 …1013
    10-4…10-1
    Hochvakuum (HV)
    10-3…10-8
    10-1…10-6
    1013…108
    10-1…104
    Ultrahochvakuum (UHV)
    10-8…10-11
    10-6…10-9
    108…105
    104…107
    Extrem hohes Vakuum (XHV)
    <10-11
    <10-9
    <105
    >107

    Tabelle 1.2: Druckbereiche in der Vakuumtechnik

Die Maßeinheit des Drucks ist das Pascal. Die Einheit wurde nach dem französischen Mathematiker, Physiker, Literaten und Philosophen Blaise Pascal (1623 – 1662) benannt. Die SI-Einheit Pascal setzt sich nach Formel 1-3 zusammen aus Pa = N m-2. In der Praxis sind auch die Einheiten mbar, Torr und die in der Tabelle 1.3 aufgeführten Einheiten gebräuchlich.
  •  
    Pa
    bar
    hPa
    µbar
    Torr
    micron
    atm
    at
    mm WS
    psi
    psf
    Pa
    1
    1·10-5
    1·10-2
    10
    7.5·10-3
    7.5
    9.87·10-6
    1.02·10-5
    0.102
    1.45·10-4
    2.09·10-2
    bar
    1·105
    1
    1·103
    1·106
    750
    7.5·105
    0.987
    1.02
    1.02·104
    14.5
    2.09·103
    hPa
    100
    1·10-3
    1
    1,000
    0.75
    750
    9.87·10-4
    1.02·10-3
    10.2
    1.45·10-2
    2.09
    µbar
    0.1
    1·10-6
    1·10-3
    1
    7.5·10-4
    0.75
    9.87·10-7
    1.02·10-6
    1.02·10-6
    1.45·10-5
    2.09·10-3
    Torr
    1.33·102
    1.33·10-3
    1.33
    1,330
    1
    1,000
    1.32·10-3
    1.36·10-3
    13.6
    1.93·10-2
    2.78
    micron
    0.133
    1.33·10-6
    1.33·10-3
    1.33
    1·10-3
    1
    1.32·10-6
    1.36·10-6
    1.36·10-2
    1.93·10-5
    2.78·10-3
    atm
    1.01·105
    1.013
    1,013
    1.01·106
    760
    7.6·105
    1
    1.03
    1.03·104
    14.7
    2.12·103
    at
    9.81·104
    0.981
    981
    9.81·105
    735.6
    7.36·105
    0.968
    1
    1·10-4
    14.2
    2.04·103
    mm WS
    9.81
    9.81·10-5
    9.81·10-2
    98.1
    7.36·10-2
    73.6
    9.68·10-5
    1·10-4
    1
    1.42·10-3
    0.204
    psi
    6.89·103
    6.89·10-2
    68.9
    6.89·104
    51.71
    5.17·104
    6.8·10-2
    7.02·10-2
    702
    1
    144
    psf
    47.8
    4.78·10-4
    0.478
    478
    0.359
    359
    4.72·10-4
    4.87·10-4
    4.87
    6.94·10-3
    1

    Tabelle 1.3: Umrechnungstabelle für Druckeinheiten

1.2.2 Allgemeine Gasgleichung

Jeder Stoff besteht aus Atomen oder Molekülen. Die Menge eines Stoffs wird definitionsgemäß in Mol angegeben. Ein Mol eines Stoffs enthält 6,022 ·1023 Teilchen (Avogadro-Konstante. Dies ist keine Zahl, sondern eine physikalische Größe mit der Einheit mol-1). 1 Mol ist dabei definiert als die Stoffmenge eines Systems, das aus genau so vielen Teilchen besteht, wie Atome in exakt 12 g Kohlenstoff des Nuklids 12C enthalten sind.

Bei Normalbedingungen, also einem Druck von 101.325 Pa und einer Temperatur von 273,15 K (entspricht 0 °C), füllt ein Mol eines idealen Gases ein Volumen von 22,414 Litern aus.

Bereits 1664 untersuchte Robert Boyle den Einfluss des Drucks auf eine bestimmte Menge an Luft. Die später von Mariotte experimentell bestätigten Ergebnisse sind im Boyle-Mariotte’schen Gesetz zusammengefasst:
  • p\cdot V=\mbox{const.}

    Formel 1-4: Boyle-Mariotte’sches Gesetz

In Worten ausgedrückt bedeutet das Boyle-Mariotte’sche Gesetz, dass das Volumen einer bestimmten Gasmenge bei konstanter Temperatur umgekehrt proportional dem Druck ist – das Produkt aus Druck und Volumen ist konstant. Mehr als hundert Jahre später wurde auch die Temperaturabhängigkeit des Volumens einer Gasmenge erkannt: das Volumen einer bestimmten Gasmenge ist bei konstantem Druck der absoluten Temperatur direkt proportional oder
  • V=\mbox{const.}\cdot T

    Formel 1-5: Gay-Lussac’sches Gesetz

Dies gilt immer noch für eine bestimmte Menge an Gas. Das Gasvolumen ist bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck proportional der Stoffmenge v. Daher können wir schreiben:
  • \frac{p\cdot V}{T}=\mbox{const.}

Dies gilt immer noch für eine bestimmte Menge an Gas. Das Gasvolumen ist bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck proportional der Stoffmenge 𝜈. Daher können wir schreiben:
  • \frac{p\cdot V}T=\nu\cdot\mbox{const.}

Die Stoffmenge wird durch Wägung bestimmt. Wir können die Stoffmenge eines Gases durch das Verhältnis der Masse durch die molare Masse ausdrücken. Die Konstante const. bezieht sich damit auf 1 Mol des betreffenden Gases, sie wird als Gaskonstante R bezeichnet. Damit lässt sich der Zustand eines idealen Gases in Abhängigkeit von Druck, Temperatur und Volumen wie folgt beschreiben:
  • p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T

    Formel 1-6: Allgemeine Zustandsgleichung für ideale Gase [5]

  • 𝑝 Druck [Pa]
  • 𝑉 Volumen [m3]
  • 𝑚 Masse [kg]
  • 𝑀 Molare Masse [kg kmol-1]
  • 𝑅 Allgemeine Gaskonstante [kJ kmol-1 K-1]
  • 𝑇 Absolute Temperatur [K]

Die Stoffmenge 𝜈 kann auch als Anzahl der Teilchen im Verhältnis zur Avogadro-Konstante angegeben werden.
  • p\cdot V=\frac{N}{N_{A}}\cdot R\cdot T=N\cdot k\cdot T\quad\mbox{where }k=\frac{R}{N_{A}}

    Formel 1-7: Zustandsgleichung für ideale Gase I

  • 𝑁 Teilchenanzahl
  • 𝑁𝐴 Avogadro-Konstante= 6.022 · 1023 [mol-1]
  • 𝑘 Boltzmannkonstante= 1.381 · 10-23 [J K-1]

Dividiert man jetzt beide Seiten der Gleichung durch das Volumen, erhält man
  • p=n\cdot k\cdot T

    Formel 1-8: Zustandsgleichung für ideale Gase II

𝑛 Teilchenzahldichte [m-3]

1.2.3 Teilchenzahldichte

Aus Formel 1-7 und Formel 1-8 wird ersichtlich, dass der Druck proportional zur Teilchenzahldichte ist. Wegen der großen Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit bei Normalbedingungen folgt, dass auch beispielsweise bei einem Druck von 10-12 hPa noch 26.500 Moleküle pro cm3 vorhanden sind. Deshalb kann man selbst im Ultrahochvakuum noch nicht von einem leeren Raum sprechen.

Im Weltraum wird es bei extrem niedrigen Drücken immer weniger griffig, vom Druck in der Einheit Pascal zu sprechen, z. B. kleiner als 10-18 hPa. Diese Druckbereiche werden besser durch die Teilchenzahldichte beschrieben, z. B. < 104 Teilchen pro Kubikmeter im interplanetaren Raum.

1.2.4 Thermische Teilchengeschwindigkeit

In einem Behälter eingeschlossene Gasmoleküle stoßen völlig regellos miteinander. Dabei kommt es zur Übertragung von Energie und Impuls. Diese Übertragung führt zum Auftreten einer Verteilung von Geschwindigkeit bzw. kinetischer Energie. Die Geschwindigkeitsverteilung entspricht einer Glockenkurve (Maxwell-Boltzmann-Häufigkeitsverteilungsfunktion) mit einem Maximum bei der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit,
  • c_{w}=\sqrt{\frac{2\cdot R\cdot T}{M}}\quad\mbox{oder}\quad c_{w}=\sqrt{\frac{2\cdot k\cdot T}{m}}

    Formel 1-9: Wahrscheinlichste Geschwindigkeit [6]

Die mittlere thermische Geschwindigkeit ist
  • \overline{c}=\sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi\cdot M}}\quad\mbox{$$ \mbox{或} $$}\quad\overline{c}=\sqrt{\frac{8\cdot k\cdot T}{\pi\cdot m}}

    Formel 1-10: Mittlere Geschwindigkeit [7]

Die folgende Tabelle zeigt die mittlere thermische Geschwindigkeit für ausgewählte Gase bei einer Temperatur von 20 °C.
  • Gas
    Chemisches
    Symbol
    Molare Masse [g mol-1]
    MittlereGeschwindigkeit [m s-1]
    Machzahl
    Wasserstoff
    H2
    2
    1,754
    5.3
    Helium
    He
    4
    1,245
    3.7
    Wasserdampf
    H2O
    18
    585
    1.8
    Stickstoff
    N2
    28
    470
    1.4
    Luft
     
    29
    464
    1.4
    Argon
    Ar
    40
    394
    1.2
    Kohlendioxid
    CO2
    44
    375
    1.1

    Tabelle 1.4: Molare Massen und mittlere thermische Geschwindigkeiten verschiedener Gase [8]

1.2.5 Mittlere freie Weglänge

Öffnet man einen Parfümflakon in einer Zimmerecke, so dauert es sehr lange, bis man die gasförmigen Geruchsstoffe in der gegenüberliegenden Zimmerecke wahrnehmen kann. Diese Erfahrung widerspricht scheinbar den im vorigen Kapitel eingeführten mittleren Geschwindigkeiten der Gase. Der Grund dafür liegt in einer Vielzahl von Zusammenstößen, die ein Gasteilchen auf seinem Weg erleidet. Die durchschnittliche geradlinige Wegstrecke, die ein Gasteilchen ohne Zusammenstoß mit anderen Gasteilchen zurücklegen kann, wird mittlere freie Weglänge genannt.
  • 1_2_img_1_4_mean_free_path_between_two_collisions

    Abbildung 1.4: Mittlere freie Weglänge zwischen zwei Stößen

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  • test
    getMedia

  • getMedia
Für Zusammenstöße gleicher Teilchen gilt für die mittlere freie Weglänge:
  • \bar{l}=\frac{k\cdot T}{\sqrt2\cdot\pi\cdot p\cdot d_{m}^2}

    Formel 1-11: Mittlere freie Weglänge

  • 𝑙¯ mittlere freie Weglänge [m]
  • 𝑑𝑚 Moleküldurchmesser[m]
  • 𝑚 Masse [kg]

Aus Formel 1-11 erkennt man, dass die mittlere freie Weglänge linear von der Temperatur und umgekehrt proportional von Druck und Moleküldurchmesser abhängt. An dieser Stelle vernachlässigen wir in der Literatur diskutierte weitere Varianten dieser Gleichung, in denen z. B. auf Stöße unterschiedlicher Gasteilchen, Stöße von Gasteilchen mit Ionen oder Elektronen sowie Temperatureffekte eingegangen wird.

Um die Temperaturabhängigkeit der mittleren freien Weglänge zu zeigen, wird Formel 1-11 oft auch mit der Temperatur als einziger Variablen auf der rechten Seite der Gleichung geschrieben:
  • \bar{l}\cdot p=\frac{k\cdot T}{\sqrt2\cdot\pi\cdot d_{m}^2}

    Formel 1-12: Mittlere freie Weglänge II

Tabelle 1.5 zeigt die \bar{l}\cdot p Werte für einige ausgewählte Gase bei 0 °C, deren Moleküldurchmesser variiert:
  • Gas
    Chemisches
    Symbol
    𝑙¯⋅𝑝
    [m hPa]
    𝑙¯⋅𝑝
    [m Pa]
    Wasserstoff
    H2
    11.5·10-5
    11.5·10-3
    Stickstoff
    N2
    5.9·10-5
    5.9·10-3
    Oxygen
    O2
    6.5·10-5
    6.5·10-3
    Helium
    He
    17.5·10-5
    17.5·10-3
    Neon
    Ne
    12.7·10-5
    12.7·10-3
    Argon
    Ar
    6.4·10-5
    6.4·10-3
    Luft
     
    6.7·10-5
    6.7·10-3
    Krypton
    Kr
    4.9·10-5
    4.9·10-3
    Xenon
    Xe
    3.6·10-5
    3.6·10-3
    Quecksilber
    Hg
    3.1·10-5
    3.1·10-3
    Wasserdampf
    H2O
    6.8·10-5
    6.8·10-3
    Kohlenmonoxid
    CO
    6.8·10-5
    6.0·10-3
    Kohlendioxid
    CO2
    4.0·10-5
    4.0·10-3
    Chlorwasserstoff
    HCl
    3.3·10-5
    3.3·10-3
    Ammoniak
    NH3
    3.2·10-5
    3.2·10-3
    Chlor
    Cl2
    2.1·10-5
    2.1·10-3

    Tabelle 1.5: Mittlere freie Weglänge ausgewählter Gase bei 273,15K [10]

Mit den Werten aus Tabelle 1.5 schätzen wir nun die mittlere freie Weglänge eines Stickstoffmoleküls bei verschiedenen Drücken ab:
  • Druck [Pa]
    Druck [hPa]
    mittlere freie
    Weglänge [m]
    1·105
    1·103
    5.9·10-8
    1·104
    1·102
    5.9·10-7
    1·103
    1·101
    5.9·10-6
    1·102
    1·100
    5.9·10-5
    1·101
    1·10-1
    5.9·10-4
    1·100
    1·10-2
    5.9·10-3
    1·10-1
    1·10-3
    5.9·10-2
    1·10-2
    1·10-4
    5.9·10-1
    1·10-3
    1·10-5
    5.9·100
    1·10-4
    1·10-6
    5.9·101
    1·10-5
    1·10-7
    5.9·102
    1·10-6
    1·10-8
    5.9·103
    1·10-7
    1·10-9
    5.9·104
    1·10-8
    1·10-10
    5.9·105
    1·10-9
    1·10-11
    5.9·106
    1·10-10
    1·10-12
    5.9·107

    Tabelle 1.6: Mittlere freie Weglänge eines Stickstoffmoleküls bei 273,15 K (0 °C)

Bei Atmosphärendruck fliegt ein Stickstoffmolekül zwischen zwei Zusammenstößen also nur rund 59 nm weit, während es im Ultrahochvakuum bei Drücken unterhalb von 10-8 hPa bereits mehrere Kilometer weit fliegt.

Der Zusammenhang zwischen Teilchenzahldichte und mittlerer freier Weglänge ist in Abbildung 1.5 grafisch gezeigt.
  • 1_2_img_1_5_molecular_number_density

    Abbildung 1.5: Teilchenzahldichte (rot, rechte y-Achse) und mittlere freie Weglänge (blau, linke y-Achse) für Stickstoff bei einer Temperatur von 273,15 K

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  • test
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1.2.6 Strömungsarten

Das Verhältnis von mittlerer freier Weglänge und dem Durchmesser des Strömungskanals kann zur Beschreibung von Strömungsarten dienen. Dieses Verhältnis wird als Knudsenzahl bezeichnet:
  • \mathit{Kn}=\frac{\bar{l}}{d}

    Formel 1-13: Knudsenzahl

  • \bar{l} Mittlere freie Weglänge [m]
  • d Weite des Strömungskanals [m]
  • Kn Knudsenzahl dimensionslos

Der Wert der Knudsenzahl kennzeichnet die Art der Gasströmung und ordnet sie einem bestimmten Druckbereich zu. Tabelle 1.7 zeigt eine Übersicht über die unterschiedlichen Strömungsarten in der Vakuumtechnik und ihre wichtigsten Charakterisierungsparameter.

Profile der unterschiedlichen Strömungsarten sind in Abbildung 1.6 gezeigt.
  • 1_2_img_1_6_profiles_of_various_types_of_flow_regimes

    Abbildung 1.6: Profile der unterschiedlichen Strömungsarten

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  • test
    getMedia

  • getMedia

Viskose Strömung im Grobvakuum

In einer viskosen Strömung, auch als Kontinuumströmung bekannt, kommt es zu häufigen Zusammenstößen der Gasteilchen untereinander, jedoch seltener mit den Gefäßwänden. Die mittlere freie Weglänge der Gasteilchen ist hier deutlich kleiner als die Abmessungen des Strömungskanals.

Bei der viskosen Strömung unterscheidet man zwischen laminarer und turbulenter Strömung. Bei der laminaren oder Schichtströmung bleiben die Gasteilchen immer in gleichen parallel zueinander transportierten Schichten. Steigt die Strömungsgeschwindigkeit, so lösen sich diese Schichten auf und die Fluidteilchen laufen völlig ungeordnet durcheinander. Man spricht dann von turbulenter Strömung. Die Grenze zwischen diesen beiden Teilbereichen der viskosen Strömung kann durch den Wert der Reynolds-Zahl beschrieben werden:
  • Re=\frac{\rho\cdot\nu\cdot l}{\eta}

    Formel 1-14: Reynolds-Zahl

  • Re Reynoldszahl dimensionslos
  • ρ Dichte des Fluids [kg m-3]
  • ν Strömungsgeschwindigkeit [m s1]
  • l Charakteristische Länge [m]
  • η Dynamische Viskosität [Pa s]


Bis zu Werten von ReRe < 2.300 ist die Strömung laminar und für ReRe > 4.000 turbulent. Im Bereich zwischen 2.300 < ReRe < 4.000 ist die Strömung vorherrschend turbulent. Es ist aber auch laminare Strömung möglich, beide Strömungsarten sind in diesem Bereich instabil.

Turbulente Strömung kommt im Vakuum nur beim Abpumpen von Atmosphärendruck oder schnellem Belüften vor. Man dimensioniert die Leitungen von Vakuumanlagen so, dass turbulente Strömung bei relativ hohen Drücken nur kurzzeitig auftritt, da die dabei auftretenden hohen Strömungswiderstände höhere Saugvermögen der eingesetzten Pumpen verlangen.


Knudsenströmung im Feinvakuum

Liegt die Knudsenzahl zwischen 0,01 und 0,5, spricht man von Knudsenströmung. Da viele Prozessdrücke im Feinvakuumbereich liegen, ist diese Strömungsart in technischen Vakuumanwendungen entsprechend häufig vertreten.


Molekulare Strömung im Hochvakuum und im Ultrahochvakuum

Bei Knudsenzahlen größer als 0,5 findet eine Wechselwirkung der Teilchen untereinander praktisch nicht mehr statt. Es herrscht Molekularströmung. Die mittlere freie Weglänge ist deutlich größer als die Weite des Strömungskanals. In der Molekularströmung liegt das Produkt aus Druck und Bauteildurchmesser bei ≤ 1,3 · 10-2 hPa cm.

Eine grafische Zusammenfassung der Strömungsbereiche in Abhängigkeit vom Produkt aus Druck und Bauteildurchmesser ist in Abbildung 1.7 gezeigt.
  • 1_2_img_1_7_flow_ranges_in_vacuum_as_function_of_p___d

    Abbildung 1.7: Strömungsbereiche im Vakuum in Abhängigkeit von p · d

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Aus dieser Abbildung wird klar, dass die auch in Tabelle 1.7 wiedergegebenen Einteilungen der Vakuumbereiche rein nach dem Druck eine unzulässige Vereinfachung darstellen. Nachdem diese Einteilung im Sprachgebrauch aber noch weit verbreitet ist, wird sie an dieser Stelle zitiert.
  •  
    Viskose Strömung
    Knudsen-Strömung
    Molekular-Strömung
     
    Grobvakuum
    Feinvakuum
    Hoch-/Ultrahochvakuum
    Druckbereich [hPa]
    103…1
    1…10-3
    < 10-3 bzw. < 10-7
    Druckbereich [Pa]
    105…10 2
    102…10 -1
    < 10-1 bzw. < 10-5
    Knudsenzahl
    Kn < 0.01
    0.01 < Kn < 0.5
    Kn > 0.5
    Reynoldszahl

    Re < 2,300: laminar
    Re > 4,000: turbulent
     
     
    p · d [hPa cm]
    p · d > 0.6
    0.6 > p · d > 0.01
    p · d < 0.01

    Tabelle 1.7: Übersicht Strömungsarten

1.2.7 pV-Durchfluss

Dividiert man die allgemeine Gasgleichung (Formel 1-6) durch die Zeit t, so erhält man den Gasstrom
  • q_{pV}=\frac{p\cdot V}{t}=\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot t}

    Formel 1-15: pV-Durchfluss

qpV pV-Durchfluss [Pa m3 s-1]
Man sieht aus der rechten Seite der Gleichung, dass bei gleicher Temperatur T ein konstanter Massenstrom gefördert wird. Dieser Gasstrom wird auch pV-Durchfluss oder Gasdurchsatz genannt. Bezogen auf eine Vakuumpumpe wird der geförderte Strom als Saugleistung bezeichnet.
  • q_{pV}=S\cdot p=\frac{dV}{dt}\cdot p

    Formel 1-16: Saugleistung einer Vakuumpumpe

Dividiert man die Saugleistung durch den Eingangsdruck, so erhält man einen Volumenstrom, das Saugvermögen einer Vakuumpumpe:
  • S=\frac{dV}{dt}

    Formel 1-17: Saugvermögen einer Vakuumpumpe

In Tabelle 1.8 ist eine Umrechnungstafel für verschiedene Einheiten der Saugleistung angegeben.
  •  
    Pa m3 / s = W
    mbar l / s
    Torr l / s
    atm cm3 / s
    lusec
    sccm
    slm
    Mol / s
    Pa m3 / s
    1
    10
    7.5
    9.87
    7.5·103
    592
    0.592
    4.41·10-4
    mbar l / s
    0.1
    1
    0.75
    0.987
    750
    59.2
    5.92·10-2
    4.41·10-5
    Torr l / s
    0.133
    1.33
    1
    1.32
    1,000
    78.9
    7.89·10-2
    5.85·10-5
    atm cm3 / s
    0.101
    1.01
    0.76
    1
    760
    59.8
    5.98·10-2
    4.45·10-5
    lusec
    1.33·10-4
    1.33·10-3
    10-3
    1.32·10-3
    1
    7.89·10-2
    7.89·10-5
    5.86·10-8
    sccm
    1.69·10-3
    1.69·10-2
    1.27·10-2
    1.67·10-2
    12.7
    1
    10-3
    7.45·10-7
    slm
    1.69
    16.9
    12.7
    16.7
    1.27·104
    1,000
    1
    7.45·10-4
    Mol / s
    2.27·103
    2.27·104
    1.7·104
    2.24·104
    1.7·107
    1.34·106
    1.34·103
    1

    Tabelle 1.8: Umrechnungstabelle Saugleistung

1.2.8 Leitwert

Vakuumkammern sind im Allgemeinen über Rohrleitungen mit einer Vakuumpumpe verbunden. Infolge von äußerer Reibung zwischen Gasteilchen und Wandfläche und innerer Reibung der Gasteilchen untereinander (Viskosität) kommt es zu Strömungswiderständen, die sich in Druckunterschieden und Saugvermögensverlusten äußern. In der Vakuumtechnik benutzt man üblicherweise an Stelle des Strömungswiderstands W dessen Kehrwert, den Leitwert L oder C (Conductance). Der Leitwert hat die Dimension eines Saugvermögens und wird meist in [l s-1] oder [m3 h-1] angegeben.

Strömt Gas durch eine Leitung, so stellt sich eine Druckdifferenz Δp an den Leitungsenden ein. Es gilt:
  • C=\frac{l}{W}=\frac{q_{pV}}{\Delta p}

    Formel 1-18: Definition Leitwert

Diese Gesetzmäßigkeit ist formal analog zum Ohm’schen Gesetz der Elektrotechnik:
  • R=\frac{U}{I}\mbox{ or }\frac{1}{R}=\frac{I}{U}

    Formel 1-19: Ohm’sches Gesetz

Beim formalen Vergleich von Formel 1-18 mit Formel 1-19 entspricht qpV dem Strom I, C dem Kehrwert des Widerstandes 1/R und Δp der Spannung U. Bei der Parallelschaltung von Bauteilen addieren sich die Einzelleitwerte:
  • C_{\mbox{ges}}=C_1+C_2+...+C_{n}

    Formel 1-20: Parallelschaltung Leitwerte

und bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände, also die Kehrwerte der Leitwerte:
  • \frac{1}{C_{\mbox{ges}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_{n}}

    Formel 1-21: Reihenschaltung Leitwerte

  • 1_2_img_1_8_conductance_smooth_round_pipe_as_function_of_mean_pressure_in_pipe

    Abbildung 1.8: Leitwert eines runden glatten Rohrs in Abhängigkeit vom mittleren Druck in der Rohrleitung

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Eine einfache Näherung für den Knudsenbereich erhält man durch Addition der laminaren und molekularen Leitwerte. Für exakte Berechnungen des Leitwertes im Bereich noch laminarer und schon molekularer Strömung sowie Leitwertberechnungen unter Berücksichtigung von Inhomogenitäten am Einlauf eines Rohres wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.

Im Rahmen dieses Buchs beschränken wir uns auf die Betrachtung der Leitwerte von Blenden und runden, langen Rohren für den laminaren und molekularen Strömungsbereich.

Blenden sind häufige Strömungswiderstände in Vakuumanlagen. Beispiele sind Querschnittsverengungen in Ventilen, Belüftungseinrichtungen oder Blenden in Messdomen für die Saugvermögensmessung. Bei Rohröffnungen an Behälterwänden muss zusätzlich zum Rohrwiderstand auch der Blendenwiderstand der Eintrittsöffnung berücksichtigt werden.


Verblockte Strömung

Betrachten wir die Belüftung eines Vakuumbehälters. Beim Öffnen des Flutventils strömt Luft aus der Umgebung mit dem Druck p unter hoher Geschwindigkeit in den Behälter ein. Die Strömungsgeschwindigkeit erreicht maximal Schallgeschwindigkeit. Hat das Gas Schallgeschwindigkeit erreicht, ist auch der maximale Gasdurchsatz erreicht, mit dem der Behälter belüftet werden kann. Die durchströmende Menge qpV ist unabhängig vom Behälterinnendruck pi. Es gilt für Luft:
  • q_{pV}=15.7\cdot d^2\cdot p_{a}

    Formel 1-22: Verblockung einer Blende [11]

  • 𝑑 Durchmesser der Blende [cm]
  • 𝑝𝑎 Aussendruck am Behälter [hPa]


Gasdynamische Strömung

Steigt nun der Druck im Behälter über einen kritischen Innendruck an, so reduziert sich der Gasstrom und kann mit gasdynamischen Gesetzen nach Bernoulli und Poiseuille berechnet werden. Der durchtretende Gasstrom qpV und der Leitwert sind abhängig von

  • Engstem Querschnitt der Blende
  • Außendruck am Behälter
  • Innendruck im Behälter
  • Allgemeiner Gaskonstante
  • Absoluter Temperatur
  • Molarer Masse
  • Adiabaten-Exponent (= Verhältnis der spezifischen bzw. molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Druck cp bzw. konstantem Volumen cV) [12]


Molekularströmung

[13]

Verbindet eine Blende zwei Behälter, in denen molekulare Strömungsbedingungen vorliegen (ist also die mittlere freie Weglänge wesentlich größer als der Durchmesser des Behälters), so gilt für die pro Zeiteinheit durchströmende Gasmenge qpV
  • q_{pV}=A\cdot\frac{\bar{c}}{4}\cdot(p_1-p_2)

    Formel 1-23: Blendendurchfluss

  • A Querschnitt der Blende [m2]
  • c¯ Mittlere thermische Geschwindigkeit [m s-1]
Entsprechend zu Formel 1-23 gilt für den Blendenleitwert
  • C_{\mathrm{or,\,mol}}=A\cdot\frac{\bar{c}}{4}=A\cdot\sqrt{\frac{kT}{2\pi m_0}}

    Formel 1-24: Blendenleitwert

  • 𝑘 Boltzmann-Konstante [m2 kg s-2 K-1]
  • 𝑚0 Molecular mass in kg

Für Luft mit einer Temperatur von 293 K ergibt sich
  • q_{pV}=A\cdot\frac{\bar{c}}{4}\cdot(p_1-p_2)

    Formel 1-25: Blendenleitwert für Luft in [l / s]

  • A Querschnitt der Blende [m2]
  • C Leitwert [l s-1]

Mit Hilfe dieser Formel kann man das maximal mögliche Saugvermögen einer Vakuumpumpe mit Ansaugöffnung A bestimmen.
Das maximale Saugvermögen einer Pumpe unter molekularen Strömungsbedingungen ist also durch die Ansaugöffnung bestimmt.

Betrachten wir nun Leitwerte von Rohren. Bei laminarer Strömung in einem langen Rohr mit rundem Querschnitt ist der Leitwert des Rohres dem mittleren Druck proportional:
  • C_{\mathrm{pipe,\,lam}}=\frac{\pi\cdot d^4}{256\cdot\eta\cdot l}\cdot(p_1+p_2)=\frac{\pi\cdot d^4}{128\cdot\eta\cdot l}\cdot\bar{p}

    Formel 1-26: Leitwert Rohr laminar

Formelzeichen
Einheit
\eta
[Pa \cdots]
d
[m]
l
[m]
p
[Pa]
C
[m3/s]

Für Luft bei 20 °C ergibt sich
  • q_{pV}=A\cdot\frac{\bar{c}}{4}\cdot(p_1-p_2)

    Formel 1-27: Leitwert Rohr laminar für Luft

  • l Länge des Rohrs [cm]
  • d Durchmesser des Rohrs [cm]
  • \bar{p}​ Druck [Pa]
  • C Leitwert [l s-1]
Im molekularen Strömungsbereich ist der Leitwert konstant und hängt nicht vom Druck ab. Er kann betrachtet werden als Produkt des Blendenleitwertes der Rohröffnung
C_{\mathrm{Rohr,\,mol}} mit der Durchtrittswahrscheinlichkeit P_{\mathrm{Rohr,\,mol}}​ durch ein Bauelement:
  • C_{\mathrm{pipe,\,mol}}=C_{\mathrm{orifice,\,mol}}\cdot P_{\mathrm{pipe,\,mol}}

    Formel 1-28: Rohr molekular

Die Durchtrittswahrscheinlichkeit 𝑃pipe,mol kann für unterschiedliche Rohrformen, Bogen oder Ventile durch Monte-Carlo-Simulation mittels Computerprogramm berechnet werden. Hierbei verfolgt man die Bahnen einzelner Gasteilchen durch das Bauteil unter Berücksichtigung von Wandstößen.

Für lange runde Rohre gilt:
  • P_{\mathrm{pipe,\,mol}}=\frac43\cdot\frac{d}{l}

    Formel 1-29: Durchtrittswahrscheinlichkeit für lange runde Rohre

Multiplizieren wir diesen Wert mit dem Blendenleitwert (Formel 1-24), so erhalten wir
  • C_{\mathrm{pipe,\,mol}}=\frac{\bar{c}\cdot\pi\cdot d^3}{12\cdot l}

    Formel 1-30: Leitwert Rohr molekular

Für Luft bei 20 °C ergibt sich
  • C_{\mathrm{pipe,\,mol}}=12.1\cdot\frac{d^3}{l}

    Formel 1-31: Leitwert Rohr molekular

l Länge des Rohrs [cm]
d Durchmesser des Rohrs [cm]
C Leitwert [l s-1]